Burgernomics & Kaufkraft: Was uns der Big-Mac-Index über Währungen und Wohlstand verrät

3.2.1 Begriffe: Kaufkraft, PPP, GDP

Damit wir die ökonomischen Indikatoren berechnen können, müssen wir zunächst ein paar Begriffe erklären:

Die Kaufkraft (engl.: “Purchasing Power”) beschreibt die Menge an Waren und Dienstleistungen, die mit einer bestimmten Geldsumme zu einem gegebenen Zeitpunkt erworben werden kann; sie spiegelt somit den realen Wert des Geldes wider und sinkt bei steigenden Preisen (Inflation) bzw. steigt bei fallenden Preisen (Deflation).

Kaufkraftparität (engl.: “Purchasing Power Parity”, PPP) ist das theoretische Konzept, nach dem Wechselkurse sich langfristig so einstellen, dass ein identischer Waren- und Dienstleistungskorb in verschiedenen Ländern, nach Umrechnung in eine gemeinsame Währung, denselben Preis hat; Abweichungen davon erklären Unterschiede im Preisniveau bzw. in den Inflationsraten der Länder.

Das Bruttoinlandprodukt (BIP, engl.: “Gross Domestic Product”, GDP) ist der Gesamtwert aller in einer Volkswirtschaft innerhalb eines bestimmten Zeitraums (meist eines Jahres) produzierten Waren und Dienstleistungen zu Marktpreisen. Es dient als zentrale Messgrösse für die wirtschaftliche Leistung eines Landes.

3.2.2 Mathematische Formeln der berechneten Variabeln

Der BigMac-Preis in US-Dollar (\(P_{\text{USD}}\), auch dollar_price) berechnet sich wie folgt:

\[P_{\text{USD}} = \frac{P_{\text{local}}}{E_{\text{USD}}}\] wobei

• \(P_{\text{local}}\) den lokalen Preis eines BigMacs im jeweiligen Land (local_price) angibt und
• \(E_{\text{USD}}\) den Wechselkurs zur Referenzwährung US-Dollar (dollar_ex) bezeichnet.

Das Kaufkraftparitätsverhältnis des BigMacs (\(PPP_{\text{BigMac}}\), auch dollar_ppp) gibt an, wie sich der Preis eines BigMacs im jeweiligen Land zum Preis in den USA verhält. Es wird folgendermassen berechnet:

\[PPP_{\text{BigMac}} = \frac{P_{\text{local}}}{P_{\text{USA}}}\] Hierbei steht

• \(P_{\text{USA}}\) für den lokalen BigMac-Preis in den USA.

Ein Wert von \(PPP_{\text{BigMac}} > 1\) weist darauf hin, dass der BigMac im betrachteten Land teurer ist als in den USA (Überbewertung), während ein Wert \(PPP_{\text{BigMac}} < 1\) eine Unterbewertung suggeriert.

Die Frage, wie viele Big Macs sich eine durchschnittliche Person mit dem nationalen BIP pro Kopf leisten könnte, beantwortet die folgende Formel:

\[\text{BigMac}_\text{GDP} = \frac{\text{GDP}_\text{per capita}}{P_\text{USD}}\] Dabei bezeichnet

• \(\text{GDP}_\text{per capita}\) das Bruttoinlandsprodukt pro Kopf und
• \(P_\text{USD}\) den umgerechneten BigMac-Preis in US-Dollar.

Dieser Wert quantifiziert, wie viele Big Macs eine Person im jeweiligen Land (theoretisch!) im Jahr kaufen könnte, unter der Annahme, dass das BIP pro Kopf gleichmässig auf alle Einwohner*innen verteilt wäre.

3.2.3 Code für die Indikatoren

# Alle Berechnungen in einer Pipeline
bmf <- grundlage_f %>%
  mutate(
    dollar_price = local_price / dollar_ex,
    dollar_ppp = local_price / price_usa,
    bigmac_gdp = gdp_per_capita / dollar_price)

4.2.1 Korrelationskoeffizient

In diesem Abschnitt untersuchen wir, wie stark der Zusammenhang zwischen zwei Variablen (gdp_per_capita und bigmac_gdp) ist:

\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}\] Es gilt: \(-1 \ge r_{xy} \ge 1\)

Wobei:

• \(r = 1\) eine perfekten postivien Zusammenhang darstellt,
• \(r = 0\) keinen linearen Zusammenhang und
• \(r = -1\) einen perfekten negativen Zusammenhang darstellt.

In R können wir das viel einfacher mit folgender Funktion ausrechnen:

cor(bmf$gdp_per_capita, bmf$bigmac_gdp, use = "complete.obs")

## [1] 0.9195871

In unserem Fall ist \(r = 0.9195871\).

Interpretation: Es besteht ein sehr starker, positiver Zusammenhang zwischen dem BIP pro Kopf und dem BigMac-GDP.

4.2.2 Lineare Regression

Während die Korrelation nur die Stärke des Zusammenhangs beschreibt, zeigt die lineare Regression auch, wie die eine Variable die andere „vorhersagt“. Das Ergebnis ist eine sogenannte Regressionsgerade, die man auch in Diagrammen einzeichnen kann.

Eine lineare Gleichung kennen wir als:

\[y = mx + b\]

Ein lineares Regressionsmodell wird häufig so formuliert:

\[\hat{y}_i = \beta_1 x_i + \beta_0\]

Die gesuchte Gerade soll so gewählt werden, dass die quadrierten Abstände zwischen den durch das Modell vorhergesagten und den empirisch beobachteten Werten minimiert werden; es soll also gelten:

\[\sum_{i=1}^{n}{{\varepsilon_i}^2} = \sum_{i=1}^{n}{(y_i - \hat{y_i})^2} = \text{Minimum}\] Der Fehlerwert \(\varepsilon\) ergibt sich also aus:

\[\varepsilon_i = y_i - \hat{y_i}\]

Unser Regressionsmodell lässt demnach wie folgt formulieren, wobei \(\varepsilon\) zu minimieren ist.

\[\text{BigMac}_{GDP} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{GDP}_{\text{per capita}} + \varepsilon\]

Da diese Minimierungsaufgabe rechnerisch eher anspruchsvoll ist, verwenden wir in R die lm()-Funktion.

Regressionsgerade <- lm(bigmac_gdp ~ gdp_per_capita, data = bmf)
summary(Regressionsgerade)

## 
## Call:
## lm(formula = bigmac_gdp ~ gdp_per_capita, data = bmf)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -6574.1  -933.6  -416.9   400.9  7416.4 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value             Pr(>|t|)    
## (Intercept)    1182.07948  427.59999   2.764              0.00792 ** 
## gdp_per_capita    0.17338    0.01037  16.715 < 0.0000000000000002 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2134 on 51 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8456, Adjusted R-squared:  0.8426 
## F-statistic: 279.4 on 1 and 51 DF,  p-value: < 0.00000000000000022

Aus der Konsole lassen sich nun unsere Resultate ablesen.

Wir erhalten

• \(\beta_0 = 1182.07948\) und
• \(\beta_1 = 0.17338\).

4.2.3 Scatterplot mit Regressionsgerade

ggplot(bmf, aes(x = gdp_per_capita, y = bigmac_gdp, label = Country)) +
  geom_point(color = "darkblue", size = 0.1) +
  geom_text(size = 2, vjust = -0.5, check_overlap = TRUE) +
  labs(title = "Bigmac-GDP vs. BIP pro Kopf",
       x = "BIP pro Kopf (in USD)", y = "Bigmac-GDP (BigMacs pro Jahr)") +
  geom_abline(intercept = 1182.0748, slope = 0.17338)

4.3.1 Filterkriterien

\[S = {\text{Land}_i : P_{\text{USD},i} \leq 4.5 \land \text{GDP}_{\text{per capita},i} > 30000}\]

guter_ferienort <- bmf %>%
  filter(dollar_price <= 4.5) %>%  # Günstige BigMac Preise
  filter(gdp_per_capita > 30000)   # Hohe wirtschaftliche Entwicklung

4.3.2 Ergebnisvisualisierung

ggplot(guter_ferienort, aes(x = gdp_per_capita, y = dollar_price, label= Country))+
  geom_point(color = "brown", size=1)+
  geom_text(size=4, vjust= -0.5, check_overlap = TRUE)+
  theme_minimal()+
  labs(title = "USD-Preis pro BigMac vs. BIP pro Kopf",
       x = "BIP pro Kopf (in USD)", y = "USD-Preis pro BigMac")+
  xlim(25000, 90000)+
  ylim(1, 5)